1.已知抛物线经过点$M(a+x,y_1),N(4-x,y_2)$,对任意实数$x$都有$y_1 = y_2$。抛物线与$x$轴交于A,B两点,$AB=6,P(x,y)$是抛物线上的动点,若恰好有三个不同的$x$值,使得$\triangle ABP$的面积为24,求抛物线的函数表达式。
思路
用待定系数法求函数表达式,通常要先求某些点的坐标。由于对任意实数$x$都有$y1=y2$,可得到对称轴,从而求出A,B两点的坐标,再由题意求出顶点的坐标即可。
解答
由题意,抛物线的对称轴为直线$x=4$,又$AB=6$,可得抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)和(7,0),设抛物线的函数表达式为$y=a(x-1)(x-7)$。因为恰好有三个不同的$x$值使得$\triangle ABP$的面积为24,所以顶点纵坐标为±8,即顶点的坐标为(4,8)或(4,-8)。把顶点的坐标代入表达式,解得$a=±9$。

2.(一元三次方程的韦达定理)已知$x_1,x_2,x_3$是方程$ax3+bx2+cx+d=0$($a,b,c,d$为常数,且$a≠0$)的根,分别求$x_1+x_2+x_3$,$x_1x_2+x_2x_3$+$x_1x_3,x_1x_2x_3$的值(用$a,b,c,d$表示)。
解答
由$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$,展开整理得$ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)x-ax_1x_2x_3=0$,与原方程比较对应系数,可得$x1+x2+x3=-\dfrac{a}{b}$,$x1x2+x2x3+x1x3=\dfrac{a}{c}$,$x1x2x3=-\dfrac{d}{a}$

3.已知$x^3+px+q$能被$(x-a)^2$整除,求证:$4p^3+27q^2=0$.
解答
设$x^3+px+q=(x-a)^2 (x+b)$,整理得$x^3+px+q=$$x^3+(b-2a)x^2+(a^2-2ab)x+a^2 b$。利用对应项的系数相等,可得
$b-2a=0$,$a2-2ab=p$,$a2b=q$
解得
$p =- 3a^2$,$q=2a^3$
因此$4p^3+27q^2=$$4×(-3a^2)^3$$+27×(2a^3)^2$$=4×(-27a^6)+27×(4a^6)=0$。
(本题可以直接用上一题的结论求解,)

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They found a quick way to the park. 他们找到了一条去公园的捷径。（文中的quick way可以替换成shortcut，表示捷径）
Every map has a scale of miles. 每一个地图都有比例尺。
A football field and a soccer field are shaped like a rectangle. 足球场的形状为长方形。
I left the cloth on the path an hour ago. 一小时前我把布料落在了小路上。
Caroline won the first,and Oscar placed the second. 卡罗琳赢得了第一，奥斯卡位列第二。
The moth flew toward the light. 飞蛾扑火。
His mouth fell open in surprise. 他惊掉了下巴。
Ed's front tooth fell out. 艾德的门牙掉了。
The hand on the clock is the minute hand. 分针最长。

On the test we put the answers in the blank. 在考试上我们填空。
The bad eggs had a terrible stink. 这个坏蛋散发着恶臭。
She can wink with her left eye. 她可以眨她的左眼。
They have not gone home yet. 他们还没往家走。
The mountain was a volcano about to explode. 这座山是一座即将爆发的火山。
If they cut down too many trees,the forest will shrink. 如果他们砍了太多树，森林就会缩水。
A rock will sink into the water. 石头沉于水。

Sector 扇形
in term of XXX 以XXX为单位
shaded region 阴影区域
intersecting 相交
The road was wide though rough. 条路很宽，但很崎岖。
They made a graph on the force of gravity. 他们做了一个关于重力的图表。
The tesr was tough enough. 测试足够难。
We made a rough model of the plane. 我们制作了一个粗略的飞机模型。
They will laugh if the feather touches them. 如果羽毛碰到他们，他们会笑。
The win was a triumph enough. 胜利足够令人振奋。