三道待定系数数学题
1.已知抛物线经过点$M(a+x,y_1),N(4-x,y_2)$,对任意实数$x$都有$y_1 = y_2$。抛物线与$x$轴交于A,B两点,$AB=6,P(x,y)$是抛物线上的动点,若恰好有三个不同的$x$值,使得$\triangle ABP$的面积为24,求抛物线的函数表达式。
思路
用待定系数法求函数表达式,通常要先求某些点的坐标。由于对任意实数$x$都有$y1=y2$,可得到对称轴,从而求出A,B两点的坐标,再由题意求出顶点的坐标即可。
解答
由题意,抛物线的对称轴为直线$x=4$,又$AB=6$,可得抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)和(7,0),设抛物线的函数表达式为$y=a(x-1)(x-7)$。因为恰好有三个不同的$x$值使得$\triangle ABP$的面积为24,所以顶点纵坐标为±8,即顶点的坐标为(4,8)或(4,-8)。把顶点的坐标代入表达式,解得$a=±9$。
2.(一元三次方程的韦达定理)已知$x_1,x_2,x_3$是方程$ax3+bx2+cx+d=0$($a,b,c,d$为常数,且$a≠0$)的根,分别求$x_1+x_2+x_3$,$x_1x_2+x_2x_3$+$x_1x_3,x_1x_2x_3$的值(用$a,b,c,d$表示)。
解答
由$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$,展开整理得$ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)x-ax_1x_2x_3=0$,与原方程比较对应系数,可得$x1+x2+x3=-\dfrac{a}{b}$,$x1x2+x2x3+x1x3=\dfrac{a}{c}$,$x1x2x3=-\dfrac{d}{a}$
3.已知$x^3+px+q$能被$(x-a)^2$整除,求证:$4p^3+27q^2=0$.
解答
设$x^3+px+q=(x-a)^2 (x+b)$,整理得$x^3+px+q=$$x^3+(b-2a)x^2+(a^2-2ab)x+a^2 b$。利用对应项的系数相等,可得
$b-2a=0$,$a2-2ab=p$,$a2b=q$
解得
$p =- 3a^2$,$q=2a^3$
因此$4p^3+27q^2=$$4×(-3a^2)^3$$+27×(2a^3)^2$$=4×(-27a^6)+27×(4a^6)=0$。
(本题可以直接用上一题的结论求解,)