1.已知抛物线经过点$M(a+x,y_1),N(4-x,y_2)$,对任意实数$x$都有$y_1 = y_2$。抛物线与$x$轴交于A,B两点,$AB=6,P(x,y)$是抛物线上的动点,若恰好有三个不同的$x$值,使得$\triangle ABP$的面积为24,求抛物线的函数表达式。
思路
用待定系数法求函数表达式,通常要先求某些点的坐标。由于对任意实数$x$都有$y1=y2$,可得到对称轴,从而求出A,B两点的坐标,再由题意求出顶点的坐标即可。
解答
由题意,抛物线的对称轴为直线$x=4$,又$AB=6$,可得抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)和(7,0),设抛物线的函数表达式为$y=a(x-1)(x-7)$。因为恰好有三个不同的$x$值使得$\triangle ABP$的面积为24,所以顶点纵坐标为±8,即顶点的坐标为(4,8)或(4,-8)。把顶点的坐标代入表达式,解得$a=±9$。

2.(一元三次方程的韦达定理)已知$x_1,x_2,x_3$是方程$ax3+bx2+cx+d=0$($a,b,c,d$为常数,且$a≠0$)的根,分别求$x_1+x_2+x_3$,$x_1x_2+x_2x_3$+$x_1x_3,x_1x_2x_3$的值(用$a,b,c,d$表示)。
解答
由$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$,展开整理得$ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)x-ax_1x_2x_3=0$,与原方程比较对应系数,可得$x1+x2+x3=-\dfrac{a}{b}$,$x1x2+x2x3+x1x3=\dfrac{a}{c}$,$x1x2x3=-\dfrac{d}{a}$

3.已知$x^3+px+q$能被$(x-a)^2$整除,求证:$4p^3+27q^2=0$.
解答
设$x^3+px+q=(x-a)^2 (x+b)$,整理得$x^3+px+q=$$x^3+(b-2a)x^2+(a^2-2ab)x+a^2 b$。利用对应项的系数相等,可得
$b-2a=0$,$a2-2ab=p$,$a2b=q$
解得
$p =- 3a^2$,$q=2a^3$
因此$4p^3+27q^2=$$4×(-3a^2)^3$$+27×(2a^3)^2$$=4×(-27a^6)+27×(4a^6)=0$。
(本题可以直接用上一题的结论求解,)

对于

$Xa_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+……+a_n = sum_1$

$a_1+Xa_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+……+a_n = sum_2$

$a_1+a_2+Xa_3+a_4+a_5+a_6+a_7+……+a_n = sum_3$

$a_1+a_2+a_3+Xa_4+a_5+a_6+a_7+……+a_n = sum_4$

$a_1+a_2+a_3+a_4+Xa_5+a_6+a_7+……+a_n = sum_5$

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+Xa_6+a_7+……+a_n = sum_6$

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+Xa_7+……+a_n = sum_7$

……

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+……+Xa_n = sum_n$

这一类型的方程组，可以将每一项相加，再对每一个算式做减法。

比如

$2a_1+a_2+a_3+a_4 = 6$

$a_1+2a_2+a_3+a_4 = 8$

$a_1+a_2+2a_3+a_4 = 10$

$a_1+a_2+a_3+2a_4 = -4$

可得$5a_1 + 5a_2 + 5a_3 + 5a_4 = 20，化简为a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 4$

再减去每一项可得$a_1 = 2,a_2 = 4,a_3 = 6,a_4 = -8$

已知a,b,c是正数，解关于x的方程

$\dfrac{x - a - b}{c} + \dfrac{x - b - c}{a} + \dfrac{x - c - a}{b}$ = $3$

解法一：原方程化为

x$(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})$ = $\dfrac{b + c}{a} + \dfrac{c + a}{b} + \dfrac{a + b}{c} + 3$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$①

因为 $\dfrac{b + c}{a} + \dfrac{c + a}{b} + \dfrac{a + b}{c} + 3$

=$(\dfrac{b + c}{a} + 1) + (\dfrac{c + a}{b} + 1) + (\dfrac{a + b}{c} + 1)$

=$\dfrac{b + c + a}{a} + \dfrac{c + a + b}{b} + \dfrac{a + b + c}{c}$

所以方程①化为$~~~~~$x$(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) = (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})$$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$②

因为a,b,c都是正数，所以$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}~>~0$,从而在方程②两边同时除以$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$，得x = a+b+c。

解法二：原方程化为

$(\dfrac{x - a - b}{c} - 1) + (\dfrac{x - b - c}{a} - 1) + (\dfrac{x - c - a}{b} - 1) = 0$

得$~~~\dfrac{x - a - b - c}{c} + \dfrac{x - b - c - a}{a} + \dfrac{x - c - a - b}{b} = 0$

提取公因式x-a-b-c,得

$~~~$$~~~$$~~~$$~~~$$~~~$$~~~$$~~~$$~~~(x-a-b-c)(\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}) = 0$

因为$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} > 0$,所以$x-a-b-c=0,即$x=a+b+c。 故方程的解为$x=a+b+c$。

解法三：假设$\dfrac{x-a-b}{c}=1,\dfrac{x-b-c}{a}=1,\dfrac{x-c-a}{b}=1,$则每个分式都可以得到$x=a+b+c。$ $~~~$又题中方程是一次方程，它只有一个解，故方程的解是$x=a+b+c$。

###原题如下：###

陈A歹种植一批农作物，第一天需要浇水一次，随后的两天（第2、第3天），每天需要浇水2次，再随后的3天（第4、第5、第6天），
需要每天浇水3次，这样持续下去，随后的n天，每天需要浇水n次。请问在100天里，总共浇了多少次水()
A. 994
B. 996
C. 995
D. 945

题目分析： 对于这道题我们要先求出这100天一共有几轮，再求出每一轮浇水的平方之和。 题目解答 由于1~n是一串连续的数字可以用等差数列求和公式来求，首是1，尾和项设为n,设等式的结果为100； $(1 + n)·n\over(2)$ = 100结果向下去整后为13。再带入公式得出91，用100减91得出浇十四次水的有九天，再用平方和公式13(13 + 1)(26 + 1)/6得到819再加上9天浇14次水也就是9×14=126，819+126 = 945。故答案选D。

###原题如下：###

如果a为int类型的变量，下列那个表达式可以正确求出满足“小于等于a且是4的倍数”的整数中最大的？()
A.(a & (~3))
B.((a << 2) >> 2)
C.(a ^ 3)
D.((a - 1) | 3) + 1

题目分析： 由于符合题目要求的式子有很多所以本题用代入法来做 对于选项A 先将常数值~3算出来由于a的二进制不一定有多少位所以我们先拟定3的二进制为00……0011,再按位取反得到11……1100，我们先尝试6,6的二进制是110有3位，所以之前拟定时三的位数也变为三位，取反后得到100，再与110按位与得到100，转为十进制后为4，符合原题。 对于选项B 这个式子相当于把a的二进制后面增加两个零再减少两个零，与原题不符还会溢出。 对于选项C 是求a的3次方，也与原题不符。 对于选项D 在尝试9的时候a - 1 = 8，8 的二进制是1000，1000 与3的二进制11按位或后求出1011，十进制下为11，11 + 1 = 2，与原题不符，正确答案为8。 所以答案为A。 以下为图片解析