对于

$Xa_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+……+a_n = sum_1$

$a_1+Xa_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+……+a_n = sum_2$

$a_1+a_2+Xa_3+a_4+a_5+a_6+a_7+……+a_n = sum_3$

$a_1+a_2+a_3+Xa_4+a_5+a_6+a_7+……+a_n = sum_4$

$a_1+a_2+a_3+a_4+Xa_5+a_6+a_7+……+a_n = sum_5$

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+Xa_6+a_7+……+a_n = sum_6$

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+Xa_7+……+a_n = sum_7$

……

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+……+Xa_n = sum_n$

这一类型的方程组，可以将每一项相加，再对每一个算式做减法。

比如

$2a_1+a_2+a_3+a_4 = 6$

$a_1+2a_2+a_3+a_4 = 8$

$a_1+a_2+2a_3+a_4 = 10$

$a_1+a_2+a_3+2a_4 = -4$

可得$5a_1 + 5a_2 + 5a_3 + 5a_4 = 20，化简为a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 4$

再减去每一项可得$a_1 = 2,a_2 = 4,a_3 = 6,a_4 = -8$

已知a,b,c是正数，解关于x的方程

$\dfrac{x - a - b}{c} + \dfrac{x - b - c}{a} + \dfrac{x - c - a}{b}$ = $3$

解法一：原方程化为

x$(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})$ = $\dfrac{b + c}{a} + \dfrac{c + a}{b} + \dfrac{a + b}{c} + 3$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$①

因为 $\dfrac{b + c}{a} + \dfrac{c + a}{b} + \dfrac{a + b}{c} + 3$

=$(\dfrac{b + c}{a} + 1) + (\dfrac{c + a}{b} + 1) + (\dfrac{a + b}{c} + 1)$

=$\dfrac{b + c + a}{a} + \dfrac{c + a + b}{b} + \dfrac{a + b + c}{c}$

所以方程①化为$~~~~~$x$(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) = (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})$$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$②

因为a,b,c都是正数，所以$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}~>~0$,从而在方程②两边同时除以$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$，得x = a+b+c。

解法二：原方程化为

$(\dfrac{x - a - b}{c} - 1) + (\dfrac{x - b - c}{a} - 1) + (\dfrac{x - c - a}{b} - 1) = 0$

得$~~~\dfrac{x - a - b - c}{c} + \dfrac{x - b - c - a}{a} + \dfrac{x - c - a - b}{b} = 0$

提取公因式x-a-b-c,得

$~~~$$~~~$$~~~$$~~~$$~~~$$~~~$$~~~$$~~~(x-a-b-c)(\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}) = 0$

因为$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} > 0$,所以$x-a-b-c=0,即$x=a+b+c。 故方程的解为$x=a+b+c$。

解法三：假设$\dfrac{x-a-b}{c}=1,\dfrac{x-b-c}{a}=1,\dfrac{x-c-a}{b}=1,$则每个分式都可以得到$x=a+b+c。$ $~~~$又题中方程是一次方程，它只有一个解，故方程的解是$x=a+b+c$。