浮点数和实数的精度范围
浮点数的表示格式
浮点数通常由三部分组成：符号位、指数位、和小数位。在IEEE754标准中，这通常表现为32位（单精度）或64位（双精度）的格式。
- 符号位： 1位，用于表示正负。
- 指数位： 可变位数，用于表示数值的范围。
- 小数位： 也是可变位数，用于表示数值的精度。
浮点数精度范围
单精度浮点数（32位）
- 可表示的最小值： 约$2^{-23}\times1.7549437e^{-38}$
- 可表示的最大值： 约$2^{23}\times3.402823585e^{38}$
- 精度： 大约6-7位有效数字。
双精度浮点数（64位）
- 可表示的最小值： 约$2^{-52}\times1.7549437e^{-38}$
- 可表示的最大值： 约$2^{52}\times3.402823585e^{38}$
- 精度： 大约15-16位有效数字。
实属的范围和精度
实属包括有理数和无理数，他们在计算机中的表示通常通过浮点数来实现。然而，由于浮点数的表示方式，某些实属可能无法被精确表示。
- 非规格化数(subnormal)： 如果指数位全为0，而尾数不全为0，而尾数位不全为0，则表示为非规格化数，这是一个非常小的数。
- 无穷大: 指数位全为1时，表示的是无穷大。
- NaN(Not a Number): 当指数位不全为0或全为1，且尾数位不全为0时，表示的是不是一个数字。
精度和误差
由于浮点数的表示是基于有限的二进制位数，因此存在量化误差。这种误差在计算中是不可避免的，尤其是在进行高精度计算时。例如，两个具有非常接近值的浮点数相加可能会导致结果略有偏差。 总之，浮点数提供了一种在计算机中表示实属的有效方式，但同时也伴随着精度和范围的限制。在处理需要极高精度的科学计算或工程应用时，可能需要采用其他数值计算技术，如复数或高精度。
