根节点高度为1，一棵拥有2024个节点的完全二叉树有多少个叶子节点（）。 A 1001

B 1010

C 1011

D 1012

答案：D。

$2^{10}−1<2024<2^{11}−1$,所以是一棵11层的完全二叉树，最后一层的节点个数为2024−($2^{10}$)=1001, 倒数第二层的叶子结点为($2^{11−1}$−1001)/2=11,一共有1001+11=1012个叶子节点。

The car ran out of gas.

车跑尽了汽油。

Jack hung his cap on the hook.

Jack把帽子挂在了钩子上。

This soup tastes good.

这汤尝起来不错。

The heat in the summer make us hot.

这里强调一下heat指的是夏天太阳使我们变热，在这里代表热度，hot则是形容词，表示我们很热。

She put her foot in the shoe.

其中的foot和shoe单复数一 一映射，因为foot是指一只脚，自然是穿一只鞋。

已知a,b,c是正数，解关于x的方程

$\dfrac{x - a - b}{c} + \dfrac{x - b - c}{a} + \dfrac{x - c - a}{b}$ = $3$

解法一：原方程化为

x$(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})$ = $\dfrac{b + c}{a} + \dfrac{c + a}{b} + \dfrac{a + b}{c} + 3$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$①

因为 $\dfrac{b + c}{a} + \dfrac{c + a}{b} + \dfrac{a + b}{c} + 3$

=$(\dfrac{b + c}{a} + 1) + (\dfrac{c + a}{b} + 1) + (\dfrac{a + b}{c} + 1)$

=$\dfrac{b + c + a}{a} + \dfrac{c + a + b}{b} + \dfrac{a + b + c}{c}$

所以方程①化为$~~~~~$x$(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) = (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})$$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$②

因为a,b,c都是正数，所以$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}~>~0$,从而在方程②两边同时除以$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$，得x = a+b+c。

解法二：原方程化为

$(\dfrac{x - a - b}{c} - 1) + (\dfrac{x - b - c}{a} - 1) + (\dfrac{x - c - a}{b} - 1) = 0$

得$~~~\dfrac{x - a - b - c}{c} + \dfrac{x - b - c - a}{a} + \dfrac{x - c - a - b}{b} = 0$

提取公因式x-a-b-c,得

$~~~$$~~~$$~~~$$~~~$$~~~$$~~~$$~~~$$~~~(x-a-b-c)(\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}) = 0$

因为$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} > 0$,所以$x-a-b-c=0,即$x=a+b+c。 故方程的解为$x=a+b+c$。

解法三：假设$\dfrac{x-a-b}{c}=1,\dfrac{x-b-c}{a}=1,\dfrac{x-c-a}{b}=1,$则每个分式都可以得到$x=a+b+c。$ $~~~$又题中方程是一次方程，它只有一个解，故方程的解是$x=a+b+c$。

先来介绍一下math和maths的区别 他们的原型都是mathematics，但由于英语变体的拼写差异，以至于他们各有各的含义。

math

他是美式英语的标准拼写，更常用于正式的学术文章、教科书和考试场合，体现专业性和严谨性，所以更适合指学科。

maths

他则是影视式英语的标准拼写，更加口语化，适合日常对话和教育场合，使用更为灵活。

The dry soil grew no trees. 干的（没有水分）的土里长不出树木。这里需要注意的是grew no trees的使用，从字面看“长出” “无树”，这是英语使用习惯，表示“成长不出树来”。类似常见的句子还有：have no idea(没有主意/思路）；get no chance(没有机会）等。